クォータニオン1：複素数とオイラーの公式
オイラーパラメータ（単位クォータニオン）は3次元の姿勢や回転を表現する上で，優れた記述方法です．
ここでは，その数学的なアイデアのもととなった，2次元平面の回転を表す複素数とオイラーの公式について，述べていきます．この概念をしっかりと理解しておくことが，オイラーパラメータで回転を計算する上で役立つはずです．
実数の世界
複素数と回転が関係すると言っても，なかなかピンとこないかもしれません．
その前に，ここでは，まず，一直線を表す数直線を示します．
数直線
このように数直線は，図の左右の位置を表すことができます．
複素数と複素平面
では，次に回転を表現できる複素数とは，なにかというと実部と虚部を足し合わせたものです．例えば，
3＋2 i
は，実数で表した実部の3と，実数と虚数 i の積で表す虚部の2 i との和で表しています．上で示した数直線はこの実部に相当します．これを複素平面と呼ばれる，実軸と虚軸の二つの座標軸で表すグラフ表示すると
複素数の例：3+2i
のように描画することができます．これを一般化して，
複素平面
のように書き表すことができ，回転角度は図に示した偏角で表現できます．
複素数と回転
さて，複素数はこのように，実軸と虚軸に大きさを持つことができますが，回転を考えるだけなら，大きさが1の円を考えるだけですみます．せっかく，複素数の説明をしましたが，以降，大きさが1の単位円に話を絞ります．
虚部は0で，実部の大きさが+1である複素数をこの単位円上に書くと，
複素平面の1
の赤色の点となります．次に，この「1」に虚数 i をかけると，「1 i」 になります．ただし，ここではわかりやすく「1 i 」と書きましたが，ただの「 i 」 と書けば十分です．
つまり，1に虚数 i をかけることで，複素平面の単位円上を90度回転して，青色の点に移動することになります．つまり，虚数をかけることは，90度回転することに相当します．では，試しに，もう一度 i をかけると，「-1」になります（i * i =-1）．複素平面の単位円上をさらに90度回転しています．このように
虚数をかけることが，複素数では回転を表現していることがわかります．
オイラーの公式
この単位円上の回転を数式で表したのが，オイラーの公式です．オイラーの公式は
のように虚数を使用した指数（左辺）と，三角関数と虚数で表した右辺で表現されます．この証明は，他に譲り，右辺に注目します．
右辺のcosθは実部で，i sinθは虚部であることがわかるので，これは複素数です．この複素数の大きさは，(cosθ)^2＋(sinθ)^2ですから，1となっています．ここで，θを前に取り上げた偏角とします．このように
単位円上の点は，偏角θを利用すれば，実部のcosθと，虚部のsinθで表現でき，虚数 i が回転を担っていることを示す，オイラーの公式の右辺を図示することができます．オイラーの公式を用いれば，振動を美しく表現できるなど様々な恩恵がありますが，ここでは，この程度にとどめておきます．詳しい説明は「ブルーバックス，オイラーの公式がわかる」などをご参照ください．
なお「クォータニオン2：オイラーの公式からロドリゲスの式へ」では，このオイラーの公式によって表される2次元平面の回転を，3次元の回転に拡張したロドリゲスの式について説明していきます．
note記事
単位クォータニオンについてはnote記事「モーションにおける３次元回転」もご参照ください．