クォータニオン2：オイラーの公式からロドリゲスの式へ
3次元の物体の回転は「ロドリゲスの式」に示したように，ひとつの回転軸 n と回転角度θで表すことができます．
これは，２次元平面の回転を表すオイラーの公式（クォータニオン1：複素数とオイラーの公式）において，複素数に虚数 i をかけることによる，複素平面上で90度の回転に相当します
そこで，このロドリゲスの式が，2次元平面の回転をあわわす「オイラーの公式」
と類似性があることから，これとのアナロジーで3次元の回転を考えます．
そこで，まず，オイラーの公式（クォータニオン1：複素数とオイラーの公式）で説明した，虚数単位 i をかけることが回転を意味することを示した図を再掲します．
この図のように，（この図では大きさが1の）複素数に虚数 i をかけることは，複素平面上で90度の回転に相当します．
一方，「ロドリゲスの式」
で説明したように，3次元空間における回転を表すこの式も，オイラーの公式と同様に行列を使った指数関数で表現することができます．角度ψを単位回転軸 n まわりに回転させることは，この式では指数関数の中の「ψ[n x]」と記述するだけで良いのですが，これは，まさにオイラーの公式の3次元版を記述していることを暗示しています．
ここで，[n ×]はベクトルnの外積を行列表現したもので，
と表される（座標軸1,2,3軸のそれぞれの成分を, n1, n2, n3とする縦ベクトル）大きさが1の単位ベクトルに対して，
のような歪対称行列（交代行列ともいう）で書くことができます．これは3つの軸成分を持つので，ロドリゲスの式の指数部はさらに
のように分解することもできます．すなわち，第1軸（ｘ軸と考えても良い）回りの回転成分が角度ψ1で，同様に第2，第3軸（y, z軸）成分が，角度ψ2, ψ3となるように分解できます．この分解は，基本的には後述のオイラーパラメータ（単位クォータニオン）でも成立します．
さて，オイラーの公式との類似性を説明する図が次の図
3次元空間における回転表現
になります．これは，3次元空間のベクトル a に[n x]をかけることで，軸 n 回りに，90度回転することを示しています．ここで，[n x] は軸の単位ベクトル n とベクトル a にたいする外積で，a と n に垂直な方向のベクトルを計算します．これは虚数と同様に，i をかけると90度回転することと同様です．
さらに，もう一度[n x]をかけると，すなわち[n x]^2をかけると，さらに90度回転し，これも虚数i^2=-1となり180度回転することと同じ作用をします．まとめると
i^1 = i, [n x]^1 = [n x]
i^2 = -1, [n x]^2 = [n x] [n x]
i^3 = -i, [n x]^3 = -[n x]
i^4 = 1, [n x]^4 = -[n x]^2
のようになります．以上からロドリゲスの式が，2次元平面の回転を表すオイラーの公式の，3次元への拡張となっていることがわかります．
次に「クォータニオン3：ロドリゲスの式からクォータニオンへ」で，ロドリゲスの式とクォータニオンの関係について述べていき，クォータニオンが3次元の回転を幾何学的に優れた方法であることを示していきます．
note記事
単位クォータニオンについてはnote記事「モーションにおける３次元回転」もご参照ください．