クォータニオン4：クォータニオンの演算

クォータニオン（quaternion）は四元数（しげんすう）と呼ばれ，２次元平面の回転を表現する「複素数の拡張」として，３次元の回転を表現することができます．なお，ただのクォータニオンはそれだけでは回転を表現しません．大きさが1という拘束のある単位クォータニオン（オイラーパラメータ）によって回転を表現します．

したがって，クォータニオンで成立する演算が，オイラーパラメータで成立するとは限らないので注意しましょう．

クォータニオンの幾何学的な意味は「ロドリゲスの式からクォータニオンへ」などで述べましたが，ここでは，クォータニオンの演算について，その一部を述べていきます．

なお，以下の性質はオイラーパラメータ（単位クォータニオン）だけでなく，一般的なクォータニオンで成立する性質であるため，ここでは，2つのクォータニオンqaとqb

を使いその性質を表していきます．なお，ここでは，スカラ部とベクトル部の形式和を「＋」で表す（qa0 + qav）の形式ではなく，上記のような括弧を使った表現方法を便宜上使用します．

クォータニオンを使用した演算（加減乗除，内積，外積も含める）は成立しますが，本項で扱っている回転が成立するオイラーパラメータでも成立する演算として，クォータニオン積，共役クォータニオンを取り上げます．

クォータニオン積

ここで，上付きTの記号はベクトルの転置を表し，a^T b はベクトルaとbの内積を意味します．また一番最後のxの積は，ベクトルの外積の演算子を意味します．このようにスカラ部とベクトル部に分けた計算を行うと，複雑ですが，次のようにクォータニオンを縦ベクトル

で表し，行列を使用してクォータニオン積は

のように書き表せます．この場合，このクォータニオンが回転を表すオイラーパラメータ（単位クォータニオン）である場合，qbの回転を行った次に，回転qaを行う，このクォータニオン積は合成の回転を表しています．なお，クォータにオニオン積は可換ではありません．つまり，回転順番が異なれば，合成の回転は異なり，qa ⊗ qb ≠ qb ⊗ qa となります．

共役クォータニオン

のように，ベクトル部，すなわち回転軸の向きを反対にするのが，共役クォータニオンで，これは回転を表すオイラーパラメータでは逆回転を意味します．

そこで，qa の共役クォータニオンqa*とクォータニオンqbのクォータニオン積は

のように最初の行列の転置行列を用いて記述することができる．したがって，q* ⊗ q は無回転で，

となります．オイラーパラメータ[1, 0, 0, 0]^Tは無回転であることは，ご自身で確かめてください．

そのほかの演算

クォータニオン積以外にも，和と差，内積，外積などの演算がクォータニオンには存在しますが，クォータニオンの和や差は，もはや大きさが1にならないことは容易に想像ができ，オイラーパラメータ（単位クォータニオン）の性質が成り立たないこともわかります．

ここでは，回転，すなわちオイラーパラメータで成立する（大きさ1を維持する）クォータニオンの演算だけ取り上げました．

このように，オイラーパラメータは，オイラー角と異なり，回転の計算はオイラーパラメータ同士の計算で閉じることができ，かつ行列の計算で表現できるところに，線形計算をする上で大きなメリットがあります．

note記事

単位クォータニオンについてはnote記事「モーションにおける３次元回転」もご参照ください．

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