クォータニオンによる姿勢表現
クォータニオンの幾何学的意味を理解するためには，「クォータニオン1：複素数とオイラーの公式」「クォータニオン2：オイラーの公式からロドリゲスの式へ」「クォータニオン3：ロドリゲスの式からクォータニオンへ」もご覧ください．
クォータニオンとは
四元数を記念し橋にかかげられたプレート（Wikipediaより）
クォータニオン（quaternion）は四元数（しげんすう）とも呼ばれる，アイルランドの数学者ハミルトンが1843年に考案されました．現在ウィリアム・ローアン・ハミルトン橋と呼ばれている橋を歩いているときに，ひらめき，そのアイデア（下記の式）を橋にナイフで刻んだと伝えられています．
クォータニオンは複素数を拡張したもので，i^2=j^2=k^2=ijk=-1 という関係を満たします．もともと，2次元（平面）の回転を表すのに，複素数は都合が良く数学のオイラーの公式は有名です．クォータニオンは，それを3次元空間に拡張したものなのです．そして
q = s + i u + j v + k w
のようなs, u, v, wの4変数（実数）で定義されたqをクォータニオンと呼びます．
さらに
s^2 + u^2 + v^2 + w^2 = 1
という特別な関係をクォータニオンを持たせて，3次元の姿勢角度を表現することができ，これをオイラーパラメータ（Euler parmeters）と呼びます．オイラーパラメータは単位四元数（単位クォータニオン）とも呼ばれます．一般に「クォータニオン＝3次元姿勢角度，回転」のように考えていらっしゃる方が多いのですが，正規化された上記の関係を満たす特別なクォータニオン（＝オイラーパラメータ，単位クォータニオン）によってのみ，回転を表現できることにご注意ください．以下に，簡単にその特別なクォータニオン，すなわちオイラーパラメータによる3次元の姿勢角度表現について解説していきます．
なお，オイラー角と比較して，クォータニオンによる姿勢表現は線形計算が成り立つ，幾何学的に直感的，特異的の回避などの多くの利点があります．ここでは，それらを網羅することはできませんが，多くの場面でクォータニオンを使用することを推奨いたします．
オイラーパラメータ
ここで，クォータニオンと区別し，オイラーパラメータsを新たに定義します．
