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（2022.12.15訂正）

　モーションセンサのジャイロセンサは角速度（回転の速度）を計測するので，姿勢角度を直接算出できません．また，地磁気センサの情報からは3次元の角度のうち2つの角度しか計算することができません．
そこで，ここではモーションセンサの計測データから姿勢角度を算出する方法についてご説明する前に，まずは3次元の角度について概要を述べます．

　3次元で剛体の姿勢角度を表すとき，姿勢角度の自由度は3です．すなわち最低3つの変数（角度）必要となり，その３つの変数で表す代表が，オイラー角です．そこで，オイラー角についてまず説明をします．後述するように，オイラー角には複数の定義の仕方があります．

　まず剛体の姿勢は，剛体に固定した直交座標系の各軸の単位ベクトル{ex,ey,ez}を並べたもので表現します．これは一般に記号Rなどで表現した，３×３の行列で，回転後の{ex,ey,ez}を回転前の絶対座標系{O}からみた各単位ベクトルを並べて

　　R = {ex,ey,ez}

のように書き表します．

　次に，典型的なオイラー角の一つである，Z-Y-Xオイラー角について説明してみましょう．

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オイラーの定理

　回転行列 R は剛体の姿勢を表すとします．すると，Ra のように，行列 R はベクトル a の回転の役割も果たします．この回転を，1 本の固定軸 n まわりに角度 ψ だけまわす 1 回転で表現することができます．つまり，R に対して必ずそのような 1 本の固定軸が存在することが知られています．これはオイラーの定理と呼ばれています．

　そのような行列Rによるベクトルaの回転は式で

ロドリゲスの式の続きを読む

　加速度センサとジャイロセンサは慣性センサともよばれます．そのうちジャイロセンサは角速度センサとも言われ，角速度を計測するセンサです．

　ジャイロセンサはカメラの手ぶれ補正やカーナビなどによく使われますが，スマホやタブレットPCなどにも搭載されており，加速度センサも含めてかなり普及しています．ジャイロセンサの計測原理はタイプによって，全く異なりますが，モーションセンサで使用しているジャイロセンサも，スマホやカメラなどで使用されている，振動式ジャイロセンサーというMEMSジャイロセンサーです．

角速度の単位

　角速度は単位時間あたりの回転量で，SI単位系（科学技術で使用される単位系）の単位は[rad/s]ですが，モーションセンサでは通常，[deg/s]などが使用されます．1秒あたりの回転量をdegree（度）で表します．1回転は360[deg]＝2π[rad]です．[deg/s]はdps（ディー・ピー・エス）などともよびます．似たような単位で，rpsなどもあり，これは1秒あたりの回転数（rotation）per secondの意味です．

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　ここでは運動する物体に装着した加速度センサが一体何を計測しているか，解説します．

　センサを剛体（物体）に固定した座標系Σsの原点に加速度センサを置くと，

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　回転行列は，A「物体（に固定されたベクトル）を回転させる」場合と，B「物体（ベクトル）を眺める世界（座標系）を回転させる」場合とで，数学的な扱いが異なります．

「ベクトルを回転させる場合」「座標変換させる場合」の具体例

A）回転と，B）座標変換

　この例からも，Aの物体に固定された「ベクトル」gをx軸回りに90度回転する場合と異なり，Bの物体を眺めている世界である「座標系」のほうをx軸回りに90度回転させることは，ベクトルgを相対的に反対方向に-90度，回転させることに相当します．
　また，Aをベクトルの「回転」と呼び，Bをベクトルの「座標変換」と呼び，数学的にも区別されます．

　そこで，ベクトルの回転を，x軸回りの回転角度θx（deg）の関数である回転行列R(θx）とベクトルgの乗積で表すと，Aの場合はR(90)gに相当し，Bの場合はR(-90)gで新しいベクトルを計算することに相当します．
　すなわち，Aのベクトルの回転を行う行列と，Bのベクトルの座標変換を行う行列は，反対向き（逆回転）の関係であることがわかります．