クォータニオンによる姿勢表現
クォータニオンの幾何学的意味を理解するためには，「クォータニオン1：複素数とオイラーの公式」「クォータニオン2：オイラーの公式からロドリゲスの式へ」「クォータニオン3：ロドリゲスの式からクォータニオンへ」もご覧ください．
クォータニオンとは
四元数を記念し橋にかかげられたプレート（Wikipediaより）
クォータニオン（quaternion）は四元数（しげんすう）とも呼ばれる，アイルランドの数学者ハミルトンが1843年に考案されました．現在ウィリアム・ローアン・ハミルトン橋と呼ばれている橋を歩いているときに，ひらめき，そのアイデア（下記の式）を橋にナイフで刻んだと伝えられています．
クォータニオンは複素数を拡張したもので，i^2=j^2=k^2=ijk=-1 という関係を満たします．もともと，2次元（平面）の回転を表すのに，複素数は都合が良く数学のオイラーの公式は有名です．クォータニオンは，それを3次元空間に拡張したものなのです．そして
q = s + i u + j v + k w
のようなs, u, v, wの4変数（実数）で定義されたqをクォータニオンと呼びます．
さらに
s^2 + u^2 + v^2 + w^2 = 1
という特別な関係をクォータニオンを持たせて，3次元の姿勢角度を表現することができ，これをオイラーパラメータ（Euler parmeters）と呼びます．オイラーパラメータは単位四元数（単位クォータニオン）とも呼ばれます．一般に「クォータニオン＝3次元姿勢角度，回転」のように考えていらっしゃる方が多いのですが，正規化された上記の関係を満たす特別なクォータニオン（＝オイラーパラメータ，単位クォータニオン）によってのみ，回転を表現できることにご注意ください．以下に，簡単にその特別なクォータニオン，すなわちオイラーパラメータによる3次元の姿勢角度表現について解説していきます．
なお，オイラー角と比較して，クォータニオンによる姿勢表現は線形計算が成り立つ，幾何学的に直感的，特異的の回避などの多くの利点があります．ここでは，それらを網羅することはできませんが，多くの場面でクォータニオンを使用することを推奨いたします．
オイラーパラメータ
ここで，クォータニオンと区別し，オイラーパラメータsを新たに定義します．
クォータニオンと同じように，このようにオイラーパラメータは4つの変数で定義されます．ここでe0は回転角度ψで表された，回転角度に関するパラメータで，e=[e1,e2,e3]^T=n sin (ψ/2)は，軸の方向を示すパラメータである．さらに，これらは
e0^2 + e1^2 + e2^2 + e3^2 = 1
という大きさに関する拘束式を満たします．
すると，オイラーパラメータで記述したロドリゲスの式は
のように書き表すことができます．ここでTはベクトルの転置を表していますので，eTeはベクトルの内積を意味しています．e eTは3×3の行列になりますので，注意してください．Eは3次の単位行列です．また，ここで述べる回転は，時間変化しない平均的な回転運動を表しています．
逆変換
ここでは，行列Rが既知の時に，オイラーパラメータを算出する方法（逆変換）について考える．行列Rの成分が
のように表されるとき，回転角度に関係するパラメータe0と，回転軸に関係するパラメータek = e1, e2, e3 (k=1,2,3)は，下記のような関係を満たします．
ここでtrは行列のトレースで行列Rの対角要素の和 trR=r11+r22+r33です．この式と最初のオイラーパラメータの定義から，回転角度ψは
から計算できます．ここで回転は回転軸の向きnと角度ψで表されるため，同じ回転を２つの軸で表現でき，角度の符号は正負のどちらを選択しても構いませんが，それにともない，回転軸nの向きが定まります．ここでは，以下の計算も含めて，ψの符号として正を選択することにします．
ここで，sgn()は括弧の中の値で決定される符号関数で，１か−１か０の値を返します．
note記事
単位クォータニオンについてはnote記事「モーションにおける３次元回転」もご参照ください．
DSPを搭載しセンサ内部で柔軟な演算を行える新機軸の無線センサ
DSPワイヤレス9軸モーションセンサ
スタジオで計測いただくことができます
約100㎡（10m x 10m）のスペースがある計測スタジオをレンタルいただく事で、DSP９軸ワイヤレスモーションセンサ等を使用して運動計測、身体計測を行うことができます。
福岡計測スタジオ
お問い合わせ
製品についてのご質問などお気軽にお問い合わせ下さい。
製品に関するスポーツセンシング社へのお問合せ